Question

【題目】閱讀理解：在平面直角坐標系中，對于任意兩點與的“非常距離”給出下列定義： 若，則點與的“非常距離”為；

若，則點與的“非常距離”為. 例如：點，點，因為，所以點與的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點Q為垂直于軸的直線與垂直于軸的直線的交點）．

（1）已知點A，B為軸上一個動點．

①若點B（0，3），則點A與點B的“非常距離”為 ；

②若點A與點B的“非常距離”為2，則點B的坐標為 ；

③直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值 .

（2）已知點D（0，1）點C是直線上的一個動點，如圖2，求點C與點D“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標.

Answer 1

【答案】（1）①3，②（0，2）或（0，－2） ③（2）

【解析】試題分析：（1）①根據若|x1-x2|＜|y1-y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1-y2|解答即可；

②根據點B位于y軸上，可以設點B的坐標為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0-y|=2，據此可以求得y的值；

③設點B的坐標為（0，y）．因為|--0|≥|0-y|，所以點A與點B的“非常距離”最小值為|--0|=；

（2）設點C的坐標為（x0， x0+3）．根據材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1-x2|”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為-x0=x0+2，據此可以求得點C的坐標．

試題解析：（1）∵|--0|=，|0-3|=3，

∴＜3，

∴點A與點B的“非常距離”為3．

②∵B為y軸上的一個動點，

∴設點B的坐標為（0，y）．

∵|--0|=≠2，

∴|0-y|=2，

解得，y=2或y=-2；

∴點B的坐標是（0，2）或（0，-2），

③點A與點B的“非常距離”的最小值為．

（2）如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，

需要根據運算定義“若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1-x2|”解答，

此時|x1-x2|=|y1-y2|，即AC=AD，

∵C是直線y=x+3上的一個動點，點D的坐標是（0，1），

∴設點C的坐標為（x0， x0+3），

∴-x0=x0+2，

此時，x0=-，

∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x0|=，

此時C（-， ）．