Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D在AB延長線上，且∠BCD=∠A．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若∠A=30°，AC=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）π﹣．

【解析】試題分析：（1）連結OC，如圖，根據圓周角定理得∠ACB=90°，再利用等腰三角形的性質得∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，則∠A+∠BCO=90°，加上∠BCD=∠A，所以∠BCD+∠BCO=90°，于是根據切線的判定方法可判斷DC是⊙O的切線；

（2）根據含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△ACB中計算出BC=AC=2，AB=2BC=4，再計算出∠AOC=120°，然后根據扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S扇形AOC﹣S△AOC進行計算．

試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OA=OC，OB=OC，

∴∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，

∴∠A+∠BCO=90°，

∵∠BCD=∠A，

∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°，

∴BC=AC=2，

AB=2BC=4，

∵∠AOC=180°﹣∠A﹣∠ACO=120°，

∴圖中陰影部分的面積=S扇形AOC﹣S△AOC

=S扇形AOC﹣S△ABC=．