Question

（2013•撫順）如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內，F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的坐標；
（3）點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=-x²+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設第三象限內的點F的坐標為（m，-m²-2m+3），運用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點D的坐標，再設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，根據S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=3，列出關于m的方程，解方程求出m的值，進而得出點F的坐標；
（3）設P點坐標為（-1，n）．先由B、C兩點坐標，運用勾股定理求出BC²=10，再分三種情況進行討論：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB²+BC²=PC²，據此列出關于n的方程，求出n的值，再計算出PD的長度，然后根據時間=路程÷速度，即可求出此時對應的t值；②∠BPC=90°，同①可求出對應的t值；③∠BCP=90°，同①可求出對應的t值．

解答：解：（1）∵y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴當y=0時，x=-3，即A點坐標為（-3，0），
當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3），
將A（-3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得

-9-3b+c=0 c=3

，
解得

b=-2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）如圖1，設第三象限內的點F的坐標為（m，-m²-2m+3），則m＜0，-m²-2m+3＜0．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴對稱軸為直線x=-1，頂點D的坐標為（-1，4），
設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，則G（-1，0），AG=2．
∵直線AB的解析式為y=x+3，
∴當x=-1時，y=-1+3=2，
∴E點坐標為（-1，2）．
∵S_△AEF=S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG=

1

2

×2×2+

1

2

×2×（m²+2m-3）-

1

2

×2×（-1-m）=m²+3m，
∴以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m²+3m=3，
解得m₁=

-3- 21

2

，m₂=

-3+ 21

2

（舍去），
當m=

-3- 21

2

時，-m²-2m+3=-m²-3m+m+3=-3+m+3=m=

-3- 21

2

，
∴點F的坐標為（

-3- 21

2

，

-3- 21

2

）；

（3）設P點坐標為（-1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC²=1²+3²=10．
分三種情況：
①如圖2，如果∠PBC=90°，那么PB²+BC²=PC²，
即（0+1）²+（n-3）²+10=（1+1）²+（n-0）²，
化簡整理得6n=16，解得n=

8

3

，
∴P點坐標為（-1，

8

3

），
∵頂點D的坐標為（-1，4），
∴PD=4-

8

3

=

4

3

，
∵點P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₁=

4

3

；
②如圖3，如果∠BPC=90°，那么PB²+PC²=BC²，
即（0+1）²+（n-3）²+（1+1）²+（n-0）²=10，
化簡整理得n²-3n+2=0，解得n=2或1，
∴P點坐標為（-1，2）或（-1，1），
∵頂點D的坐標為（-1，4），
∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，
∵點P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₂=2，t₃=3；
③如圖4，如果∠BCP=90°，那么BC²+PC²=PB²，
即10+（1+1）²+（n-0）²=（0+1）²+（n-3）²，
化簡整理得6n=-4，解得n=-

2

3

，
∴P點坐標為（-1，-

2

3

），
∵頂點D的坐標為（-1，4），
∴PD=4+

2

3

=

14

3

，
∵點P的速度為每秒1個單位長度，
∴t₄=

14

3

；
綜上可知，當t為

4

3

秒或2秒或3秒或

14

3

秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形．

點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求拋物線的解析式，函數圖象上點的坐標特征，拋物線的頂點坐標和三角形的面積求法，直角三角形的性質，勾股定理．綜合性較強，難度適中．（2）中將△AEF的面積表示成S_△AEG+S_△AFG-S_△EFG，是解題的關鍵；（3）中由于沒有明確哪一個角是直角，所以每一個點都可能是直角頂點，進行分類討論是解題的關鍵．