Question

【題目】已知:如圖,△ABC中,AD⊥BC,點D為垂足,AD=BD,點E在AD上,BE=AC

（1）求證:△BDE≌△ADC

（2）若M、N分別是BE、AC的中點,分別聯結DM、DN. 求證:DM⊥DN

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）運用HL證明△BDE≌△ADC即可；

（2）由△BDE≌△ADC可得DE=DC，∠DEM=∠C，BE=AC，再依據M、N分別是BE、AC的中點，從而可得CN=EM，進而可證明△DEM≌△DCN，可得∠CDN=∠EDM，結合∠ADC=90°即可證得結論.

（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠BDE=90°，

在Rt△ADC和Rt△BDE中，

∴△BDE≌△ADC;

（2）如圖，

∵△BDE≌△ADC，

∴DE=DC，∠DEM=∠C，

∵M、N分別是BE、AC的中點且BE=AC，

∴EM=CN，

在△DEM和△DCN中，

∴△DEM≌△DCN

∴∠EDM=∠CDN

∵∠CDN+∠NDA=90°，

∴∠MDA+∠NDA=90°，

即DM⊥DN.