Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=x2﹣2x+m（m＞0）的對稱軸與比例系數為5的反比例函數圖象交于點A，與x軸交于點B，拋物線的圖象與y軸交于點C，且OC=3OB．

（1）求點A的坐標；
（2）求直線AC的表達式；
（3）點E是直線AC上一動點，點F在x軸上方的平面內，且使以A、B、E、F為頂點的四邊形是菱形，直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知二次函數圖象的對稱軸是直線x=1，反比例函數解析式是y= ，

把x=1代入y= ，得y=5，

∴點A的坐標為（1，5）；

（2）

解：由題意可得點B的坐標為（1，0），

∵OC=3OB，

∴OC=3，

∵m＞0，

∴m=3，

可設直線AC的表達式是y=kx+3，

∵點A在直線AC上，

∴k=2，

∴直線AC的表達式是y=2x+3；

（3）

解：當AB、BE為菱形的邊時，如圖1，

設E（x，2x+3），則BE= ，

∵四邊形ABEF為菱形，

∴AB=BE=5，

∴ =5，解得x=1（E、A重合，舍去）或x=﹣3，

此時E（﹣3，﹣3），

∵EF∥AB且EF=AB，

∴F（﹣3，2），

當AB、AE為邊時，則AE=AB=5，

同理可求得AE= ，

∴ =5，解得x=1﹣ （此時F點在第三象限，舍去）或x=1+ ，

∴E（1+ ，5+2 ），

∵EF∥AB且EF=AB，

∴F（1+ ，2 ）；

當AB為對角線時，如圖2，

則EF過AB的中點，

∵A（1，5），B（1，0），

∴AB的中點為（1， ），

∵EF⊥AB，

∴EF∥x軸，

∴E點縱坐標為 ，代入y=2x+3可得 =2x+3，解得x=﹣ ，

∴E（﹣ ， ），

∴F（ ， ）；

綜上可知F點的坐標為（﹣3，2）或（1+ ，2 ）或（ ， ）

【解析】（1）可求得拋物線對稱軸方程和反比例函數解析式，則可求得A點坐標；（2）可求得B點坐標，再由OC=3OB可求得C點坐標，利用待定系數法可求得直線AC的表達式；（3）當AB為菱形的邊時，則BE=AB或AE=AB，設出E點坐標，可表示出BE的長，可得到關于E點坐標的方程，可求得E點坐標，由AB∥EF，則可求得F點的坐標；當AB為對角線時，則EF被AB垂直平分，則可求得E的縱坐標，從而可求得E點坐標，利用對稱性可求得F點的坐標．