Question

28、已知關于x的方程x²-2（m+1）x+m²-2m-3=0…①的兩個不相等實數根中有一個根為0．是否存在實數k，使關于x的方程x²-（k-m）x-k-m²+5m-2=0…②的兩個實數根x₁，x₂之差的絕對值為1？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：本題先要從第一個方程的判別式及有一個根為0出發，確定實數m的值，然后將m的值代入第二個方程并將其化簡，再利用根與系數的關系根據題意看看能否找出k的值．

解答：解：把x=0代入得m²-2m-3=0．
解得m=3或-1．
∵方程有兩個不相等實數根．
∴[-2（m+1）]²-4×（m²-2m-3）＞0．
解得m＞-1．
∴m=3．
∵x₁，x₂之差的絕對值為1．
∴（x₁-x₂）²=1．
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1．
（k-3）²-4（-k+4）=1．
解得k₁=-2，k₂=4．
∵當k=-2時，△=[-（k-3）]2-4（-k+4）
=k²-2k-7
=（-2）²-2×（-2）-7
=1＞0
當k=4時，△=k²-2k-7=4²-2×4-7=1＞0．
∴存在實數k=-2或4，使得方程②的兩個實數根之差的絕對值為1．

點評：本題是一個探索存在性問題，利用判別式和根與系數的關系，按照題意直接推理是解這類問題的基本方法．