Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E在邊CB的延長線上，且∠EAC=90°，AE2=EBEC．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）延長DB、AE交于點F，若AF=AC，求證：AE=BF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據AE2=EBEC證明△AEB∽△CEA，即可得到∠EBA=∠EAC=90°，從而說明平行四邊形ABCD是矩形；

（2）根據（1）中△AEB∽△CEA可得，再證明△EBF∽△BAF可得，結合條件AF=AC，即可證AE=BF．

證明：（1）∵AE2=EBEC

∴

又∵∠AEB=∠CEA

∴△AEB∽△CEA

∴∠EBA=∠EAC

而∠EAC=90°

∴∠EBA=∠EAC=90°

又∵∠EBA+∠CBA=180°

∴∠CBA=90°

而四邊形ABCD是平行四邊形

∴四邊形ABCD是矩形

即得證．

（2）∵△AEB∽△CEA

∴即，∠EAB=∠ECA

∵四邊形ABCD是矩形

∴OB=OC

∴∠OBC=∠ECA

∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB

即∠EBF=∠EAB

又∵∠F=∠F

∴△EBF∽△BAF

∴

∴

而AF=AC

∴BF=AE

即AE=BF得證．