Question

將一個邊長為1的正方形紙片，剪成四個大小一樣的正方形，然后將其中一個小正方形再按照同樣的方法剪成四個正方形，如此循環下去，觀察下列圖表，回答下列問題：

操作次數	1	2	3	4	…
所得正方形的總個數	4	7	10	13	…

（1）當操作次數為5次時，得到的正方形的個數是

 

．
（2）從表格和第（1）題的結果中你發現了什么？我發現

 

．
（3）請你根據你的發現歸納出：當操作次數為n次時，得到的正方形的個數是

 

．
（4）仔細觀察圖形，請你利用圖形揭示的規律進行下面的計算（要有揭示規律的過程）：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+

1

128

+

1

256

．

Answer 1

分析：（1）根據表格和圖形可得到答案；
（2）從表格發現：每循環一次正方形的個數增加3個；
（3）從這種數字4、7、10、13可發現操作n次2得到正方形的個數；
（4）把分數的加法轉換成整數的加法，再計算比較簡單．

解答：解：（1）當操作次數為5次時，得到的正方形的個數是：16；

（2）表格和第（1）題的結果中你發現：每循環一次正方形的個數增加3個；

（3）當操作次數為n次時，得到的正方形的個數是：3n+1；

（4）

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+

1

128

+

1

256

，
=

1

256

×（128+64+32+16+8+4+2+1），
=

255

256

．

點評：本題主要考查規律性和分式的加法運算，要善于從一組數字發現規律．