Question

已知，如圖，以Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙0，D是BC上的點，且有弧AC=弧CD，連CD、BD，在BD延長線上取一點E，使∠DCE=∠CBD．
（1）求證：CE是⊙0的切線；
（2）若CD=2

5

，DE和CE的長度的比為

1

2

，求⊙O半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OC，AD，由弧AC=弧CD，得到OC⊥AD，∠ADC=∠DBC，而∠DCE=∠CBD，則∠DCE=∠ADC，從而得到CE∥AD，OC⊥CE
（2）先通過CE∥AD，得到∠E=90°，即四邊形CEDF是矩形．先在Rt△CED中，設DE=x，則CE=2x，求出DE=2，CE=4；再在Rt△OAF中，利用勾股定理即可求出圓的半徑．

解答：（1）證明：連接OC，AD，
∵

AC

=

CD

，
∴OC⊥AD，∠ADC=∠DBC，
而∠DCE=∠CBD，則∠DCE=∠ADC，
∴CE∥AD，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：設AD交OC于點F，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
由CE∥AD，
∴∠E=90°，
∵

AC

=

CD

，
∴OC⊥AD，AF=DF，
在Rt△CED中，設DE=x，則CE=2x，而CD=2

5

，
根據勾股定理得：x2+(2x)2=(2

5

)2，
解得：x=2，
∴DE=2，CE=4，
∵∠E=∠OCD=∠ADE=90°，
∴四邊形CEDF是矩形，
∴AF=DF=CE=4，CF=DE=2，
在Rt△OAF中，設OA=r，根據勾股定理得r²=4²+（x-2）²
∴r=5．
答：所求的半徑為5．

點評：本題考查了圓的切線的判定方法．經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時考查了垂徑定理、勾股定理和矩形的性質．