Question

【題目】某校九年級數學興趣小組在探究相似多邊形問題時，他們提出了下面兩個觀點：

觀點一：將外面大三角形按圖1的方式向內縮小，得到新三角形，它們對應的邊間距都為，則新三角形與原三角形相似．

觀點二：將鄰邊為和的矩形按圖2方式向內縮小，得到新的矩形，它們對應的邊間距都為，則新矩形與原矩形相似．

請回答下列問題：

（1）你認為上述兩個觀點是否正確？請說明理由．

（2）如圖3，已知，，，，將按圖3的方式向外擴張，得到，它們對應的邊間距都為，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）觀點一正確，觀點二不正確，見解析；（2）54

【解析】

（1）根據相似三角形以及相似多邊形的判定定理來判定甲乙的觀點是否正確；
（2）首先根據勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的內切圓半徑，進而△DEF的內切圓的半徑，根據相似三角形的性質以及面積公式即可求出△DEF的邊長，進而求出△DEF的面積．

解：（1）答：觀點一正確，觀點二不正確．

理由：①如圖1，連接并延長至，

和對應的邊間距都為

，．

，．

．

即．同理．

觀點一正確．

②如圖2，由題意知，原矩形的鄰邊為和，則新矩形對應的鄰邊為和．

，，

，

新矩形與原矩形不相似．

觀點二不正確．

（2）如圖3，作射線，交于點．

到邊、的距離都為，

是的角平分線．

同理：是的角平分線，

點是與的內心．

，，，

是直角三角形．

設的內切圓半徑為．則．解得：．

過作于點，交于點．

，

．

．

由（1）可知．

．同理．

，．

的面積為．