Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連結AC并延長至D，使CD=AC，連結BD，作CE⊥BD，垂足為E。

（1）線段AB與DB的大小關系為 ，請證明你的結論；

（2）判斷CE與⊥⊙O的位置關系，并證明；

（3）當△CED與四邊形ACEB的面積比是1:7時，試判斷△ABD的形狀，并證明。

Answer 1

【答案】(1)AB=DB,理由見解析；（2）CE是⊙Ｏ的切線，理由見解析；（3）△ABD為等邊三角形，理由見解析

【解析】試題分析：

（1）如圖，連接BC，由AB是⊙O的直徑可得：BC⊥AD，再由AC=CD，可得BC是AD的垂直平分線，從而由線段垂直平分線的性質可得AB=BD；

（2）如圖，連接OC，由已知：OA=OB，AC=CD，可得OC是△ABD的中位線，從而得到OC∥BD，又∵CE⊥BD，可得CE⊥OC，就可得到CE是⊙O的切線；

（3）如圖，由已知S△CDE:S四邊形ACEB=1：7易得S△CDE:S△ABD=1：8，連接BC，由AC=CD=AD可得S△ABD=2S△BCD，∴S△CDE:2S△BCD=1：8，則S△CDE:S△BCD=1：4；由（1）和已知易證△BCD∽△CED，從而可得： ，∴即BD=2CD，再由AB=BD，AD=2BD，就可得到：AB=BD=AD，∴△ABD是等邊三角形.

試題解析：

（１）線段AB=DB，

證明如下：

連結BC，∵AB是⊙Ｏ的直徑，

∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD．

又∵AC＝CD，∴BC垂直平分線段AD，

∴AB＝DB；

（２）CE是⊙Ｏ的切線．

證明如下：

連結OC．

∵點O為AB的中點，點C為AD的中點，

∴OC為△ABD的中位線，∴OC∥BD，

又∵CE⊥BD，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切線；

（３）△ABD為等邊三角形．

證明如下：

由＝，

得＝，

∴＝，

即＝，∴＝， ＝，

∵∠D＝∠D，∠CED＝∠BCD＝90°，∴△CED∽△BCD，

∴＝，即＝，∴＝，

在Rt△BCD中，∵CD＝BD，

∴∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，又∵AB＝DB，

∴△ABD為等邊三角形．