Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，其對稱軸交拋物線于點，交軸于點，已知.

⑴求拋物線的解析式及點的坐標；

⑵連接為拋物線上一動點，當時，求點的坐標；

⑶平行于軸的直線交拋物線于兩點，以線段為對角線作菱形，當點在軸上，且時，求菱形對角線的長.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣6，D（2，﹣8）；（2）F點的坐標為（7，）或（5，﹣）；（3）菱形對角線MN的長為+1或﹣1．

【解析】試題分析：（1）由條件可求得B、C坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式，進一步可求得D點坐標；（2）過F作FG⊥x軸于點G，可設出F點坐標，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性質可得到關于F點坐標的方程，可求得F點的坐標；（3）可求得P點坐標，設T為菱形對角線的交點，設出PT的長為n，從而可表示出M點的坐標，代入拋物線解析式可得到n的方程，可求得n的值，從而可求得MN的長．

試題解析：

（1）∵OB=OC=6，

∴B（6，0），C（0，﹣6），

∴，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣6，

∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，

∴點D的坐標為（2，﹣8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，

設F（x，x2﹣2x﹣6），則FG=|x2﹣2x﹣6|，

在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，

∴A（﹣2，0），

∴OA=2，則AG=x+2，

∵B（6，0），D（2，﹣8），

∴BE=6﹣2=4，DE=8，

當∠FAB=∠EDB時，且∠FGA=∠BED，

∴△FAG∽△BDE，

∴ ，即=，

當點F在x軸上方時，則有，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此進F點坐標為（7，）；

當點F在x軸上方時，則有，得x=﹣2（舍去）或x=5，此進F點坐標為（5，﹣）；

綜上可知F點的坐標為（7，）或（5，﹣）；

（3）∵點P在x軸上，

∴由菱形的對稱性可知P（2，0），

如圖2，當MN在x軸上方時，設T為菱形對角線的交點，

∵PQ=MN，

∴MT=2PT，

設PT=n，則MT=2n，

∴M（2+2n，n），

∵M在拋物線上，

∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=，

∴MN=2MT=4n=+1；

當MN在x軸下方時，同理可設PT=n，則M（2+2n，﹣n），

∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），

∴MN=2MT=4n=﹣1；

綜上可知菱形對角線MN的長為+1或﹣1．