Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（1， ），點B（2，0），P為線段OB上一點，過點P作PQ∥OA，交AB于點Q，連接AP，則△APQ面積最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如圖，作AF⊥OB于F，QE⊥OB于E．設OP=x， ，
∵點A（1， ），點B（2，0），
∴點F是OB的中點，
∴OF=2÷2=1，AF= ，
∵OF=FB，AF⊥OB，
∴AO=AB，
∴OA=AB= =2，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠BOA=∠BAO=∠ABO=60°，
∵PQ∥OA，
∴∠QPB=∠AOB=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴BP=BQ=PQ=2﹣x，
∴S△BPQ= （2﹣x）2 ，
∴S△APQ=S△AOB﹣S△AOP﹣S△BPQ
= ×22﹣ x ﹣ （2﹣x）2
= ﹣ x﹣ ×（4﹣2x+x2）
=﹣ （x﹣1）2+ ，
≤
∴當x=1時，△APQ面積最大值為 ．
故選：B．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的最值和相似三角形的判定與性質，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．