Question

【題目】在△ABC中，BC＝6，S△ABC＝18，正方形DEFG的邊FG在BC上，頂點D，E分別在AB，AC上．

（1）如圖1，過點A作AH⊥BC于點H，交DE于點K，求正方形DEFG的邊長；

（2）如圖2，在BE上取點M，作MN⊥BC于點N，MQ∥DE交AB于點Q，QP⊥BC于點P，求證：四邊形MNPQ是正方形；

（3）如圖3，在BE上取點R，使RE＝FE，連結RG，RF，若tan∠EBF＝．求證：∠GRF＝90°．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）如圖1中，設正方形DEFG的邊長為x．利用相似三角形的對應高的比等于相似比構建方程即可解決問題．

（2）利用平行線分線段成比例定理證明MN＝MQ，再證明四邊形MNPQ是平行四邊形即可解決問題．

（3）設EF＝GF＝3k，BF＝4k，則BG＝k，BE＝5k，可得BR2＝BGBF＝4k2，推出，推出△RBG∽△FBR，推出∠BRG＝∠RFB，再證明∠ERF+∠BRG＝90°可得結論．

解：（1）如圖1中，設正方形DEFG的邊長為x．

∵AH⊥BC，

∴S△ABC＝BCAH＝18，

∴×6×AH＝18，

∴AH＝6，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

∴x＝3，

∴正方形DEFG的邊長為3．

（2）證明：如圖2中，

∵MN⊥BC，四邊形DEFG是正方形，

∴∠MNB＝∠EFB＝90°，DE＝EF，

∴MN∥EF，

∴，

∵MQ∥DE，

∴，

∴，

∴MN＝MQ，

∵QP⊥BC，MN⊥BC，

∵QP∥MN，

∵MQ∥DE，DE∥BC，

∴QM∥PN，

∴四邊形MNPQ是平行四邊形，

∵∠MNP＝90°，

∴四邊形MNPQ是矩形，

∵MN＝MQ，

∴四邊形MNPQ是正方形．

（3）證明：如圖3中，

在Rt△EBF中，∵tan∠EBF＝，

∴可以假設EF＝GF＝3k，BF＝4k，則BG＝k，BE＝5k，

∵ER＝EF＝3k，

∴BR＝BE﹣ER＝2k，

∴BR2＝BGBF＝4k2，

∴，

∵∠RBG＝∠RBF，

∴△RBG∽△FBR，

∴∠BRG＝∠RFB，

∵ER＝EF，

∴∠ERF＝∠EFR，

∵∠EFR+∠BFR＝90°，

∴∠ERF+∠BRG＝90°，

∴∠FRG＝90°．