Question

【題目】如圖1，已知等邊三角形ABC，點P為AB的中點，點D、E分別為邊AC、BC上的點，∠APD+∠BPE=60°．
（1）①若PD⊥AC，PE⊥BC，直接寫出PD、PE的數量關系：____;

②如圖1，證明：AP=AD+BE
（2）如圖2，點F、H分別在線段BC、AC上，連接線段PH、PF，若PD⊥PF且PD=PF，HP⊥EP．求∠FHP的度數；

Answer 1

【答案】（1）①PD=PE；②見解析;（2）45°

【解析】

（1）①結論：PD=PE．如圖1中，連接CP．理由角平分線的性質定理解決問題即可．
②如圖1中，作PM∥BC交AC于M．△ABC為等邊三角形，則△APM為等邊三角形．證明△DPM≌△EPB（SAS）即可解決問題．
（2）如圖2中，作PK⊥PH交CA于點K，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．首先證明PD=PF=PE，∠PHK=∠PKH=45°，再證明△PKD≌△PHF（SAS）即可解決問題．

（1）①解：結論：PD=PE．
理由：如圖1中，連接CP．

∵△ABC是等邊三角形，
∴CA=CB，
∵AP=PB，
∴CP平分∠ACB，
∵PD⊥CA，PE⊥CB，
∴PD=PE．
故答案為PD=PE．

②證明：如圖1中，作PM∥BC交AC于M．△ABC為等邊三角形，則△APM為等邊三角形．
∵∠DPM+∠DPA=60°，∠APD+∠BPE=60°，
∴∠DPM=∠EPB，
∵PD=PE，PM=PA=PB，
∴△DPM≌△EPB（SAS）
∴DM=EB
∴AP=AM=AD+DM=AD+BE．
（2）解：如圖2中，作PK⊥PH交CA于點K，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．

由（1）可知PM=PN，
∵∠DPE=120°，∠DCE=60°，
∴∠CDP+∠PEC=180°，
∵∠PDM+∠CDP=180°，
∴∠PDM=∠PEN，
∵∠PMD=∠PNE=90°，
∴△PMD≌△PNE（AAS），
∴PD=PE，
∵PF=PE，
∴PD=PE=PF，
∵∠DPF=∠HPE=90°，∠DPE=120°
∴∠DPH=∠FPE=30°，∠PEF=∠PFE=∠PDA=75°，
∴∠AHP=∠PKH=45°，
∴PH=PK，
∵∠KPH=∠DPF=90°，
∴∠KPM=∠HPF，
∵PK=PH，PD=PF，
∴△PKD≌△PHF（SAS），
∴∠FHP=∠K=45°．