Question

教材中第25章銳角的三角比，在這章的小結中有如下一段話：銳角三角比定量地描述了在直角三角形中邊角之間的聯系．在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．
類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sad A=

底邊

腰

=

BC

AB

．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．
根據上述對角的正對定義，解下列問題：
（1）sad 60°的值為（　B　）
A.

1

2

；B.1；C.

3

2

；D.2
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sad A的取值范圍是

 

．
（3）已知sinα=

3

5

，其中α為銳角，試求sadα的值．

Answer 1

分析：（1）根據定義可知，sad 60°=2sin60°，即可求解；
（2）根據sad A的定義即可確定；
（3）首先根據正弦的定義，是直角三角形邊的比，然后根據sada的定義，構造以a為底角的等腰三角形，根據定義即可求解．

解答：解：（1）B；（4分）

（2）0＜sadA＜2；（4分）

（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=

3

5

．
在AB上取點D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，
則AD=AC=

(5k)2-(3k)2

=4k，（1分）
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=

3

5

．
∴DH=AD•sin∠A=

12

5

k，AH=

AD2-DH2

=

16

5

k．
則在△CDH中，CH=AC-AH=

4

5

k，CD=

DH2+CH2

=

4 10

5

k．（2分）
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=

4 10

5

k．
由正對定義可得：2sin60°=

CD

AD

=

10

5

，即sadα=

10

5

．（1分）

點評：本題主要考查了三角函數的定義，正確理解定義，讀懂題目中敘述的sada的含義是解決本題的關鍵．