Question

我們給出如下定義：有一組相鄰內角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形．請解答下列問題：
（1）寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在BC上，且CD=CA，點E、F分別為BC、AD的中點，連接EF并延長交AB于點G．求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；
（3）如圖2，若點D在△ABC的內部，（2）中的其他條件不變，EF與CD交于點H，圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）鄰角相等的四邊形有很多，矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一組鄰角相等．
（2）解本題有兩種方法：①運用中位線的性質，找出對應相等的角；②用待定系數法，設出x，寫出關于x的代數式，化簡即可找出對應相等的角．
（3）根據題意易知滿足條件的四邊形即為第二題的四邊形．

解答：解：（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）

（2）證法一：取AC的中點H，連接HE、HF
∵點E為BC中點
∴EH為△ABC的中位線
∴EH∥AB，且EH=

1

2

AB
同理FH∥DC，且FH=

1

2

DC
∵AB=AC，DC=AC
∴AB=DC，EH=FH
∴∠1=∠2
∵EH∥AB，FH∥DC
∴∠2=∠4，∠1=∠3
∴∠4=∠3
∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°
∴∠AGE=∠GEC
∴四邊形AGEC是鄰角四邊形
證法二：連接AE
設∠B的度數為x
∵AB=AC，CD=CA
∴∠C=∠B=x，∠1=

180°-x

2

=90°-

x

2

∵F是AD的中點
∴AF=DF=

1

2

AD
∴∠2=∠1=90°-

x

2

∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°-

x

2

=90°+

x

2

∠GEC=180°-（90°-

x

2

）=90°+

x

2

∴∠AGE=∠GEC
∴四邊形AGEC是鄰角四邊形

（3）存在等鄰角四邊形，為四邊形AGHC．

點評：本題考查了三角形的角的性質以及等腰三角形的性質的綜合運用．本題較靈活，要求學生能夠把題中的條件轉化成角，從而找出相等的角來解題．