Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，垂足為點E，交BD于F，cos∠ABC=，AB=13．

（1）求AE的長；

（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據AE⊥BC，垂足為點E，交BD于F，cos∠ABC= ，AB=13，可以求得BE的長，從而可以求得AE的長；
（2）根據在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線，AE⊥BC，可知AE、BD為△ABC的中線，從而可以利用重心定理得到EF的長，由AE⊥BC，從而可以得到tan∠DBC的值．

解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°．
∵cos∠ABC=，AB=13，
∴BE=5．
∵在Rt△BEA中，BE2+AE2=AB2，
∴AE= =12．
（2）∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE是BC邊上的中線．
又∵BD是AC邊上的中線，
∴F是△ABC的重心．
∵AE=12，
∴EF=AE=4．
∵Rt△BEF中，BE=5，EF=4，
∴tan∠DBC=．