Question

【題目】△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．

（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，①AB與CF的位置關(guān)系為：　 　；

②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：　 　．

（2）數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．

（3）拓展延伸：如圖3，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，設(shè)AD與CF相交于點G，若已知AB=4，CD=AB，求AG的長．

Answer 1

【答案】(1) ①AB∥CF ； ②BC=CD+CF；（2）見解析；（3）．

【解析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，再根據(jù)BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；

（2）依據(jù)△ABD≌△ACF，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，進而得到AB∥CF；依據(jù)△ABD≌△ACF可得BD=CF，依據(jù)CD﹣BD=BC，即可得出CD﹣CF=BC；

（3）判定△ABD≌△ACF，即可得到CF=BD=BC+CD=6，∠ACG=∠ABC=60°=∠ADF，再根據(jù)△AGC∽△FGD，即可得到==，進而得出AG的長．

（1）①∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．

又∵菱形ADEF中，AD=AF，∴△ABD≌△ACF，∴∠ACF=∠ABD=60°．

又∵∠ACB=60°，∴∠ABC+∠BCF=180°，∴AB∥CF；

②∵△ABD≌△ACF，∴BD=CF．

又∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC．

故答案為：AB∥CF；CF+CD=BC；

（2）結(jié)論①成立，而結(jié)論②不成立．證明如下：

如圖2．∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°=∠DAF，∠ABD=120°，∴∠BAD=∠CAF．

又∵菱形ADEF中，AD=AF，∴△ABD≌△ACF，∴∠ACF=∠ABD=120°．

又∵∠CAB=60°，∴∠ACF+∠BAC=180°，∴AB∥CF；

∵△ABD≌△ACF， ∴BD=CF．

又∵CD﹣BD=BC，∴CD﹣CF=BC；

（3）如圖3，連接DF，過A作AH⊥BD于H，則AH=2，DH=2+2=4，∴Rt△ADH中，AD=2．

∵AF=AD，∠DAF=60°，∴△ADF是等邊三角形．

又∵∠BAC=60°，AB=AC，∴∠BAD=∠CAF，∴△ABD≌△ACF，∴CF=BD=BC+CD=6，∠ACG=∠ABC=60°=∠ADF．

又∵∠AGC=∠FGD，∴△AGC∽△FGD，∴===，∴可設(shè)AG=4x，則FG=2x，CG=6﹣2x，DG=2﹣4x，∴=，解得：x=，∴AG=．