Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD垂直于過點C的直線DC，垂足為點D，且AC平分∠BAD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD=1，AB=5，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，由題意知∠DAC=∠OAC=∠OCA，據此得AD∥OC，根據AD⊥DC即可得證；
（2）連接BC，證△ADC∽△ACB即可得．

解：（1）如圖，連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠DAO，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DC，

∴OC⊥DC，

∴CD是⊙O的切線；

（2）連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB，

則=，即AC2=ADAB，

∵AD=1、AB=5，

∴AC2=5，

則AC=．