Question

【題目】如果一個正整數(shù)能表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“巧數(shù)”，如：，，，因此4,12,20這三個數(shù)都是“巧數(shù)”.

（1）400和2020這兩個數(shù)是“巧數(shù)”嗎？為什么？

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為和（其中取正整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“巧數(shù)”是4的倍數(shù)嗎？為什么？

（3）求介于50到101之間所有“巧數(shù)”之和.

Answer 1

【答案】（1）400不是“巧數(shù)”，2020是“巧數(shù)”，理由見解析；（2）是，理由見解析；（3）532．

【解析】

（1）根據(jù)“巧數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）列出這兩數(shù)的平方差，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，對結(jié)果進(jìn)行分析即可；

（3）介于50到100之間的所有“巧數(shù)”中，最小的為：142-122=52，最大的為：262-242=100，將它們?nèi)�部列出不難求出他們的和．

解：（1）400不是“巧數(shù)”，2020是“巧數(shù)”．原因如下：

因?yàn)?/span>，故400不是“巧數(shù)”，

因?yàn)?/span>2020=5062-5042，故2020是“巧數(shù)”；

（2）

∵n為正整數(shù)，
∴2n－1一定為正整數(shù)，
∴4(2n－1)一定能被4整除，
即由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“巧數(shù)”是4的倍數(shù)；

（3）介于50到100之間的所有“巧數(shù)”之和，
S=（142－122）+（162－142）+（182－162）+…+（262－242）=262－122=532．
故答案是：532．