Question

【題目】在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形OABC的位置如圖所示，點A，C的坐標分別為（10，0），（0，8）．點P是y軸正半軸上的一個動點，將△OAP沿AP翻折得到△O′AP，直線BC與直線O′P交于點E，與直線OA'交于點F．

（1）當點P在y軸正半軸，且∠OAP=30°時，求點O′的坐標；

（2）當O′落在直線BC上時，求直線O′A的解析式；

（3）當點P在矩形OABC邊OC的運動過程中，是否存在某一時刻，使得線段CF與線段OP的長度相等？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點O′的坐標為（5，5）．（2）直線O′A的解析式為y=x﹣．（3）當點P在矩形OABC邊OC的運動過程中，存在某一時刻，使得線段CF與線段OP的長度相等，點P的坐標為（0，）或（0，）．

【解析】

試題分析：（1）連接O′O，作O′G⊥OA于點G，根據AO=AO′，∠O′AO=2∠OPA=60°，即可得出△O′AO是等邊三角形，再結合點A的坐標即可得出點O′的坐標；

（2）設直線O′A的解析式為y=kx+b，根據勾股定理可得出BO′的長度，再根據O′在線段BC上和O′在CB延長線上分兩種情況考慮，由此即可得出點O′的坐標，結合點AO′的坐標利用待定系數法即可得出直線O′A的解析式；

（3）假設存在，設點P（0，m），根據點O′在直線BC的上下兩側來分類討論．根據平行線的性質找出相等的角從而得出兩三角形相似，再根據相似三角形的性質（或等角的三角函數值相等）找出邊與邊之間的關系，由此即可列出關于m的方程，解方程即可得出結論．

解：（1）連接O′O，作O′G⊥OA于點G，如圖1所示．

∠O′AO=2∠OPA=60°，AO=AO′，

∴△O′AO是等邊三角形，

∵點A的坐標為（10，0），

∴OA=10，OG=OA=5，O′G=OA=5，

∴點O′的坐標為（5，5）．

（2）設直線O′A的解析式為y=kx+b．

在Rt△ABO′中，AO′=10，AB=8，

∴BO′═6，

①當O′在線段BC上時，CO′=10﹣6=4，

∴點O′的坐標為（4，8），

則有，解得：，

∴此時直線O′A的解析式為y=﹣x+；

②當O′在CB延長線上時，CO′=10+6=16，

∴點O′的坐標為（16，8），

則有，解得：

∴此時直線O′A的解析式為y=x﹣．

（3）假設存在，由點O′的位置不同分兩種情況：

①當點O′在BC的上方時，設點P（0，m），過點O′作O′G⊥OA于點G，過點P作PQ⊥O′G于點Q，如圖2所示．

∵OP=CF，

∴BF=BC﹣CF=10﹣m，

∵點C（0，8），

∴AB=OC=8．

在Rt△ABF中，AB=8，BF=10﹣m，

∴AF==．

∵O′G⊥x軸，AB⊥OA，

∴O′G∥AB，

∴△O′GA∽△ABF，

∴，

∴O′G=，AG=，

∴O′Q=O′G﹣OP=﹣m，PQ=OA﹣AG=10﹣．

∵∠PO′Q+∠O′PQ=90°，∠PO′Q+∠AO′G=90°，

∴∠O′PQ=∠AO′G=∠FAB，

∴，

∴PQ==10﹣，

解得：m1=，m2=10，

經檢驗m1=是分式方程的解，

此時點P的坐標為（0，）；

②當點O′在BC的下方時，設AF與y軸的交點為M，如圖3所示．

設點P（0，m），則CF=OP=m，

BF=10+m，AB=8，OA=10，AF==．

∵BC∥AO，

∴∠AFB=∠MAO，

∴，

∴OM=，

∴PM=OM﹣OP=﹣m，

∵∠MPO′與∠AMO互余，

∴∠MPO′=∠AFB，

∴，即，

解得：m3=，m4=﹣10（舍去），

經檢驗m3=是分式方程的解，

此時點P的坐標為（0，）．

綜上可知：當點P在矩形OABC邊OC的運動過程中，存在某一時刻，使得線段CF與線段OP的長度相等，點P的坐標為（0，）或（0，）．