Question

【題目】問題情境：如圖，∥，，，求的度數.

小明的思路是過點作∥，通過平行線的性質來求.

（1）按照小明的思路，求的度數；

（2）問題遷移：如圖，∥，點在射線上運動，記，，當點在、兩點之間運動時，問與、之間有何數量關系？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點不在、兩點之間運動時（點與點、、三點不重合），請直接寫出與、之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）110°（2）（3）①當點在左側時，； ②當點在右側時，

【解析】分析：（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；

（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

詳解：∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180,∠C+∠CPE=180，

∵∠PAB=130,∠PCD=120，

∴∠APE=50,∠CPE=60，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110.

(2)∠APC=∠α+∠β，

理由：如圖2,過P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

(3)如圖所示，當P在BD延長線上時，∠CPA=∠α∠β；

如圖所示，當P在DB延長線上時，∠CPA=∠β∠α.