Question

【題目】如圖，已知一次函數y1= x+b的圖象l與二次函數y2=﹣x2+mx+b的圖象C′都經過點B（0，1）和點C，且圖象C′過點A（2﹣ ，0）．

（1）求二次函數的最大值；
（2）設使y2＞y1成立的x取值的所有整數和為s，若s是關于x的方程 =0的根，求a的值；
（3）若點F、G在圖象C′上，長度為 的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，當四邊形DEFG的面積最大時，在x軸上求點P，使PD+PE最小，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y2=﹣x2+mx+b經過點B（0，1）與A（2﹣ ，0），

∴ ，

解得

∴l：y1= x+1；

C′：y2=﹣x2+4x+1．

∵y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，

∴ymax=5

（2）解：聯立y1與y2得： x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x= ，

當x= 時，y1= × +1= ，

∴C（ ， ）．

使y2＞y1成立的x的取值范圍為0＜x＜ ，

∴s=1+2+3=6．

代入方程得

解得a= ；

經檢驗a= 是分式方程的解

（3）解：∵點D、E在直線l：y1= x+1上，

∴設D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．

如答圖1，過點E作EH⊥DG于點H，則EH=q﹣p，DH= （q﹣p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[ （q﹣p）]2=（ ）2，

解得q﹣p=2，即q=p+2．

∴EH=2，E（p+2， p+2）．

當x=p時，y2=﹣p2+4p+1，

∴G（p，﹣p2+4p+1），

∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（ p+1）=﹣p2+ p；

當x=p+2時，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，

∴F（p+2，﹣p2+5），

∴EF=（﹣p2+5）﹣（ p+2）=﹣p2﹣ p+3．

S四邊形DEFG= （DG+EF）EH= [（﹣p2+ p）+（﹣p2﹣ p+3）]×2=﹣2p2+3p+3

∴當p= 時，四邊形DEFG的面積取得最大值，

∴D（ ， ）、E（ ， ）．

如答圖2所示，過點D關于x軸的對稱點D′，則D′（ ，﹣ ）；

連接D′E，交x軸于點P，PD+PE=PD′+PE=D′E，

由兩點之間線段最短可知，此時PD+PE最小．

設直線D′E的解析式為：y=kx+b，

則有 ，

解得

∴直線D′E的解析式為：y= x﹣ ．

令y=0，得x= ，

∴P（ ，0）．

【解析】（1）用待定系數法將點B、點A代入一次函數解析式和二次函數解析式，就可以求出兩函數的解析式，再求出二次函數的頂點坐標，即可求出函數的最大值。
（2）先求出拋物線與直線BC的兩交點坐標，觀察圖像，寫出使y2＞y1成立的x的取值范圍，求出所有整數的和s的值，再將x=s代入方程，既可求出a的值。注意：此方程式分式方程必須檢驗。
（3）抓住已知條件中的長度為 5 的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，因此添加輔助線，過點E作EH⊥DG于點H，D、E兩點再直線BC上，設出這兩點的坐標，根據勾股定理，得出EH=2，E（p+2，p+2），再將當x=p時，當x=p+2時，分別代入二次函數解析式，求出對應的函數值，即可表示出點F、點G的坐標，再求出DG、EF的長，根據梯形的面積求出s與t的函數關系式，求出頂點坐標，即可求得p的值，并求出點D、E的坐標，要在x軸上求點P，使PD+PE最小，因此過點D作關于x軸的對稱點D′，，求出直線D′E的解析式，即可求出點P的坐標

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對二次函數的最值的理解，了解如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．