Question

（2005•宜賓）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為M（2，-4），且過(guò)點(diǎn)A（-1，5），連接AM交x軸于點(diǎn)B．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點(diǎn)左方一段上的動(dòng)點(diǎn)，連接PO，以P為頂點(diǎn)、PO為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)Q在x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R，連接PR，設(shè)△PQR的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在上述動(dòng)點(diǎn)P（x，y）中，是否存在使S_△PQR=2的點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線過(guò)M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）由于直線AM過(guò)A，M兩點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而求出直線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）則，Q的坐標(biāo)是（2x，0），把2x代入直線AM的解析式，就可以求出R的坐標(biāo)．得到QR的長(zhǎng)度，QR邊上的高是x，因而△QRP的面積就可以用x表示出來(lái)，得到S與x的函數(shù)解析式．
（4）使S_△PQR=2，把s=2代入函數(shù)的解析式，就可以得到關(guān)于x的方程，解方程求解就可以．
解答：解：（1）∵根據(jù)拋物線過(guò)M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）代入得，
解得，
這條拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b（k≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）兩點(diǎn)代入得，
解得，
故直線AM的解析式為y=-3x+2，
令y=0，解得x=，
故B點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y）則，Q的坐標(biāo)是（2x，0），
代入直線AM的解析式y(tǒng)=-3x+2，就可以求出R的坐標(biāo)．
得到QR的長(zhǎng)度，QR邊上的高是x，
∴S=．

（4）s=2代入（3）中函數(shù)的解析式即可得
2=-3x²+x或2=3x²-x，
當(dāng)2=-3x²+x，方程的△＜0，方程無(wú)解；
當(dāng)2=3x²-x，解得：x₁=1，x₂=-，
當(dāng)x=1時(shí)y=x²-4x=-3，即拋物線上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）時(shí)，s=2成立；
當(dāng)x=-＜0（舍去），
∴存在動(dòng)點(diǎn)P，使S=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．以及坐標(biāo)系中三角形的面積的求法，求線段的長(zhǎng)的問題一般要轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的問題．