Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是AB的中點，連接CD，過B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，連接AE，過A作AF⊥AE交CD于點F．

（1）求證：AE=AF；

（2）求證：CD=2BE+DE．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、通過證△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；(2)、如圖，過點A作AG⊥EC，垂足為G，通過證△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易證CF=BE=AG=GF．因為CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．

試題解析：(1)、如圖，∵∠BAC=90°，AF⊥AE， ∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，

∴∠EAB=∠FAC， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，

∵∠EDB=∠ADC， ∴∠EBA=∠ACF， ∴在△AEB與△AFC中，，

∴△AEB≌△AFC（ASA）， ∴AE=AF；

(2)、如圖，過點A作AG⊥EC，垂足為G． ∵AG⊥EC，BE⊥CE， ∴∠BED=∠AGD=90°，

∵點D是AB的中點， ∴BD=AD． ∴在△BED與△AGD中，， ∴△BED≌△AGD（AAS）， ∴ED=GD，BE=AG， ∵AE=AF ∴∠AEF=∠AFE=45° ∴∠FAG=45° ∴∠GAF=∠GFA， ∴GA=GF， ∴CF=BE=AG=GF， ∵CD=DG+GF+FC， ∴CD=DE+BE+BE， ∴CD=2BE+DE．