Question

【題目】已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F，

（1）如圖1，若∠ACD=60°，則∠AFB=　 　；如圖2，若∠ACD=90°，則∠AFB=　 　；如圖3，若∠ACD=120°，則∠AFB=　 　；

（2）如圖4，若∠ACD=α，則∠AFB=　 　（用含α的式子表示）；

（3）將圖4中的△ACD繞點C順時針旋轉任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示的情形，若∠ACD=α，則∠AFB與α的有何數量關系？并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,證明詳見解析.

【解析】

（1）如圖1，證明△ACE≌△DCB，根據全等三角形的性質可得∠EAC=∠BDC，再根據∠AFB是△ADF的外角求出其度數即可；如圖2，證明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，進而得出∠AFB=90°；如圖3，證明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，進而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的內角和定理得∠CAE=∠CDB，從而得出∠DFA=∠ACD，得到結論∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通過證明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形內角和定理得到結論∠AFB=180°-α．

解：（1）如圖1，CA=CD，∠ACD=60°，

所以△ACD是等邊三角形．

∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

所以△ECB是等邊三角形．

∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，

又∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD．

∵AC=DC，CE=BC，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC=∠BDC．

∠AFB是△ADF的外角．

∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．

如圖2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠AEC=∠DBC，

又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，

∴∠EFD=90°．

∴∠AFB=90°．

如圖3，∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE．

∴∠ACE=∠DCB．

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴∠EAC=∠BDC．

∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，

∴∠FAB+∠FBA=120°．

∴∠AFB=60°．

故填120°，90°，60°．

（2）∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．

∴∠ACE=∠DCB．

∴∠CAE=∠CDB．

∴∠DFA=∠ACD．

∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α．

（3）∠AFB=180°﹣α；

證明：∵∠ACD=∠BCE=α，則∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中，

則△ACE≌△DCB（SAS）．

則∠CBD=∠CEA，由三角形內角和知∠EFB=∠ECB=α．

∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α．