Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．

（1）點P是線段BC下方的拋物線上一點，過點P作PD⊥BC交BC于點D，過點P作EP∥y軸交BC于點E．點MN是直線BC上兩個動點且MN＝AO（xM＜xN）．當DE長度最大時，求PM+MN﹣BN的最小值．

（2）將點A向左移動3個單位得點G，△GOC延直線BC平移運動得到三角形△G'O′C'（兩三角形可重合），則在平面內是否存在點G'，使得△G′BC為等腰三角形，若存在，直接寫出滿足條件的所有點G′的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點G′（﹣4，0）或（﹣，）．

【解析】

（1）DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），當x＝2時，DE最大，此時點P（2，﹣）；MN＝AO＝1，將△BCO沿BC翻折得到△BCO′，將點P沿CB的方向平移1個單位得到點P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于點H，交BC于點N，將點N沿BC方向平移1個單位得到點M，則點M、N為所求，即可求解；

（2）分BC＝BG′、BC＝G′C、BG＝CG′三種情況，分別求解即可．

（1）y＝＝（x﹣4）（x+1），

故點A、B、C的坐標分別為：（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣）；

則直線BC的表達式為：y＝（x﹣4）；

設點P（x，），則點E（x，x﹣），

∵，∠EPD=∠OBC，

∴DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），

當x＝2時，DE最大，此時點P（2，﹣）；

MN＝AO＝1，將△BCO沿BC翻折得到△BCO′，

將點P沿CB的方向平移1個單位得到點P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于點H，交BC于點N，

將點N沿BC方向平移1個單位得到點M，則點M、N為所求；

P′P∥MN，且PP′＝MN，則四邊形P′PNM為平行四邊形，則P′N＝PM，

∠CBO′＝∠OBC＝30°，則HN＝NBsin30=BN，

PM+MN﹣BN＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H為最小；

直線BO′的傾斜角為60°，則其表達式為：y＝（x﹣4）…①，

則直線P′N表達式中的k為：﹣，其表達式為：y＝﹣x+b，

將點P′坐標代入并解得：

直線P′N的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯立①②并解得：x＝，故點H（，）；

P′H＝，

PM+MN﹣BN最小值＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H＝；

（2）直線BC的表達式為：y＝（x﹣4）；點G（﹣4，0），

設△GOC沿直線BC向上平移m個單位，則向右平移m個單位，則點G′（m﹣4，m）；

BC2＝，BG′2＝（m﹣8）2+3m2，CG′2＝（m﹣4）2+（m+）2＝4m2+；

①當BC＝BG′時，BC2＝（m﹣8）2+3m2，方程無解；

②當BC＝G′C時，同理可得：m＝0；

③當BG＝CG′時，同理可得：m＝；

即m＝0或，

故點G′（﹣4，0）或（﹣，）．