Question

【題目】如圖，P是等邊△ABC的AB邊上一點，過P作PE⊥AC于E，在BC的延長線上截取CQ=AP，連接PQ交AC于點D．

（1）若∠Q=28°，求∠EPD的度數；

（2）求證：PD=QD．

Answer 1

【答案】（1）58°；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：作PF∥BC交AC于F，先證明△APF是等邊三角形，得出AP=AF=PF．證出PF=CQ，由ASA證明△PFD≌△QCD，得出對應邊相等即可．

試題解析：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∵∠Q=28°，

∴∠EDP=∠CDQ=∠ACB﹣∠Q=32°，

∵PE⊥AC，

∴∠PED=90°，

∴∠EPD=90°﹣∠EDP=58°；

（2）證明：作PF∥BC交AC于F，如圖所示：

∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，

∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD，

∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，

∴△APF是等邊三角形，

∴AP=AF=PF．

∵CQ=AP，

∴PF=CQ，

在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠CQD，PF=CQ，∠PFD=∠QCD

∴△PFD≌△QCD（ASA），

∴PD=QD．