Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD，AD∥BC．點P在直線CD上運動（點P和點C，D不重合，點P，A，B不在同一條直線上），若記∠DAP，∠APB，∠PBC分別為∠α，∠β，∠γ．

（1）如圖1，當點P在線段CD上運動時，寫出∠α，∠β，∠γ之間的關系并說出理由；

（2）如圖2，如果點P在線段CD的延長線上運動，探究∠α，∠β，∠γ之間的關系，并說明理由．

（3）如圖3，BI平分∠PBC，AI交BI于點I，交BP于點K，且∠PAI：∠DAI=5：1，∠APB=20°，∠I=30°，求∠PAI的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠β=∠α+∠γ． 理由見解析；（2）點P在線段CD的延長線上運動時，∠β=∠γ﹣∠α；點P在線段DC的延長線上運動時，∠β=∠α﹣∠γ；理由見解析；（3）∠PAI=50°．

【解析】

（1）過點P作PE∥AD，如圖1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，則∠γ=∠BPE，所以∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；

（2）點P在線段CD的延長線上運動時，∠β=∠γ-∠α；點P在線段DC的延長線上運動時，∠β=∠α-∠γ．以點P在線段CD的延長線上運動為例說明：

如圖2，根據平行線的性質由AD∥BC得∠PBC=∠1，根據三角形外角性質得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC-∠PAD，即∠β=∠γ-∠α．

（3）根據題意可設∠PBI=∠CBI=m，則∠CBP=2m，∠PAI=m+10°，由∠PAI：∠DAI =5：1得∠DAI=m+2°，根據∠DHP是△APH的外角列出方程求解即可.

（1）∠β=∠α+∠γ．

理由如下：

過點P作PE∥AD，如圖1，

∵PE∥AD，

∴∠α=∠APE，

∵AD∥BC，

∴PE∥BC，

∴∠γ=∠BPE，

∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；

（2）點P在線段CD的延長線上運動時，∠β=∠γ﹣∠α；點P在線段DC的延長線上運動時，∠β=∠α﹣∠γ．

以點P在線段CD的延長線上運動為例說明：

如圖2，

∵AD∥BC，

∴∠PBC=∠1，

而∠1=∠PAD+∠APB，

∴∠APB=∠PBC﹣∠PAD，

即∠β=∠γ﹣∠α．

（3）∵BI平分∠ABC，

∴可設∠PBI=∠CBI=m，則∠CBP=2m，

∵AD∥BC，

∴∠DHP=∠CBP=2m，

∵∠APB=20°，∠I=30°，∠BKI=∠AKP，

∴∠PAI=m+30°﹣20°=m+10°，

又∵∠PAI：∠DAI =5：1，

∴∠DAI=∠PAI=m+2°，

∵∠DHP是△APH的外角，

∴∠DHP=∠PAH+∠APB，

即2m=m+2°+m+10°+20°，

解得m=40°，

∴∠PAI=40°+10°=50°．