Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值為______．

Answer 1

【答案】3

【解析】

由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，由Rt△ADB為等腰直角三角形，則AD=BD=1，即此時圓的直徑為1，再根據圓周角定理可得到∠EOH=60°，則在Rt△EOH中，利用銳角三角函數可計算出EH=，然后根據垂徑定理即可得到EF=2EH．

解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，

如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠FOH，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH=sin60°=，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH=3，

即線段EF長度的最小值為3．

故答案為3．