Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c為x軸的一交點為A（﹣6，0），與y軸的交點為C（0，3），且經過點G（﹣2，3）．

(1)求拋物線的表達式.

(2)點P是線段OA上一動點，過P作平行于y軸的直線與AC交于點Q，設△CPQ的面積為S，求S的最大值.

(3)若點B是拋物線與x軸的另一定點，點D、M在線段AB上，點N在線段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分線，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）M（，0）．

【解析】試題分析：（1）把A、C、G三點坐標代入可求得拋物線解析式；

（2）先求直線AC的解析式，設P（x，0），可表示出OP、PQ，則可表示出S，再由二次函數的性質可求得S的最大值；

（3）由已知求得BD=BC=5，從而得到D點坐標，連接DN，可得出DN∥BC，從而DN為△ABC的中位線，得到DM的長，從而得到OM的長，進一步求得M點的坐標．

試題解析：（1）把A、C、G三點坐標代入拋物線解析式可得： ，解得： ，∴拋物線的表達式為；

（2）∵C（0，3），∴可設直線AC解析式為，把A點坐標代入可得0=﹣6k+3，解得k=，∴直線AC解析式為，設P點坐標為（x，0）（x＜0），則Q點坐標為（x， ），∴PQ=，PO=﹣x，∴S=PQPO== =，∴△CPQ的面積S的最大值為；

（3）當y=0時， ，解得x=﹣6或x=4，∴B點坐標為（4，0），∴BC==5，∵∠CDB=∠DCB，∴BD=BC=5，∴OD=BD﹣OB=5﹣4=1，∴D點坐標為（﹣1，0），∴D為AB中點，如圖，連接DN，則DN=DM，∠NDC=∠MDC，∴∠NDC=∠DCB，∴DN∥BC，∵D是AB中點，∴N是AC中點，∴DN是△ABC的中位線，又DN=DM=BC=，∴OM=DM﹣OD==，∴點M坐標為（，0）．