Question

【題目】如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點，另一邊交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）如圖2，將三角板繞點旋轉，當時，連接交于點求證：；

（3）如圖3，將“正方形”改為“矩形”，且將三角板的直角頂點放于對角線(不與端點重合)上，使三角板的一邊經過點，另一邊交于點，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）根據旋轉全等模型利用正方形的性質，由可證明，從而可得結論；

（2）根據正方形性質可知，結合已知可得；再由（1）可知是等腰直角三角形可得 ，從而證明 ，由相似三角形性質即可得出結論；

（3）首先過點作，垂足為，交AD于M點，由有兩角對應相等的三角形相似，證得，根據相似三角形的對應邊成比例，再由平行可得，由此即可求得答案．

（1）證明：∵在正方形ABCD中，

∴，

又∵，

，

在和中，

，

∴（ASA），

；

（2）證明 ：∵四邊形ABCD是正方形，

∴，

又∵，

∴，

由（1）可知，

∴，

∴，

由（1）可知是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

由（1）可知，

∴．

（3）解：如圖，過點作，垂足為，交AD于M點，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴，，

∴四邊形ABNM是矩形，

∴ ，，

∴

又∵ ，

∴，

∴，

∴，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

，

∵

．