Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A（-2，0），交y軸于點B（0，）．直線過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．

(1) 求拋物線與直線的解析式；

(2)點P是拋物線上A、D間的一個動點，過P點作PM∥CE交線段AD于M點.

①過D點作DE⊥y軸于點E，問是否存在P點使得四邊形PMEC為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由;

②作PN⊥AD于點N，設△PMN的周長為m，點P的橫坐標為x，求m關于x的函數關系式，并求出m的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）① 存在，點P的坐標是（2，-3）和（4，）；② ， m的最大值是15．

【解析】

（1）將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后可求得拋物線的解析式，將點A的坐標代入直線的解析式可求得k的值，從而可求得直線的解析式；

（2）①將與聯立，可求得點，然后再求得點則，設點的坐標為，則的坐標是．然后可得到的長與的函數關系式，然后依據，可求得的值，從而可得到點的坐標；

②在中，依據勾股定理可知：，則的周長是24，接下來，證明，依據相似三角形的周長比等于相似比可得到與x的函數關系式，最后利用配方法可求得的最大值．

解：（1）經過點和點，

，

解得，

拋物線的解析式為，

直線經過點，

，解得：．

直線的解析式為；

（2）①將與聯立，解得或，

將代入得：，

，

將代入得：，

，

，

設點的坐標為，則的坐標是，

點在直線的下方，

，

四邊形為平行四邊形，

，

，解得或，

當時，，當時，，

當點的坐標為或時，四邊形為平行四邊形；

②在中，，，

依據勾股定理可知：，

的周長是24，

軸，

，

又，

，

，即，

化簡整理得：，

配方得：，

當時，有最大值，的最大是15．