Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠B=∠ADC，點E是BC邊上的一點，且AE=DC．

（1）求證：△ABC≌△EAD ；

（2）如果AB⊥AC，求證：∠BAE= 2∠ACB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）易證△ABC≌△CDA得BC=AD，AB=DC，∠ACB=∠CAD；再證∠B=∠EAD；進而再證明AB=AE，即可得證；

（2）過點A作AH⊥BC于H ，利用等腰三角形的三線合一的性質和直角三角形兩銳角互余即可得證.

試題解析：（1）∵ AB//CD，

∴ ∠BAC=∠DCA .

又 ∠B=∠ADC，AC=CA，

∴ △ABC≌△CDA .

∴ BC=AD，AB=DC，∠ACB=∠CAD .

又 AE=DC，AB=DC，

∴ AB=AE .

∴ ∠B=∠AEB .

又 ∠ACB=∠CAD，

∴ AD//BC，

∴ ∠AEB=∠EAD .

∴ ∠B=∠EAD .

在△ABC與△EAD中，

∴ △ABC≌△EAD .

（2）過點A作AH⊥BC于H .

∵ AB=AE，AH⊥BC .

∴ ∠BAE=2∠BAH .

在△ABC中，

∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=180°，

又 AB⊥AC，∴ ∠BAC=90°.

∴ ∠B+∠ACB=90°.

同理：∠B+∠BAH=90°.

∴ ∠BAH=∠ACB .

∴ ∠BAE=2∠ACB .