Question

【題目】閱讀材料（1），并利用（1）的結論解決問題（2）和問題（3）．

（1）如圖1，AB∥CD，E為形內一點，連結BE、DE得到∠BED，求證：∠E＝∠B+∠D

悅悅是這樣做的：

過點E作EF∥AB．則有∠BEF＝∠B．

∵AB∥CD，∴EF∥CD．

∴∠FED＝∠D．

∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．

即∠BED＝∠B+∠D．

（2）如圖2，畫出∠BEF和∠EFD的平分線，兩線交于點G，猜想∠G的度數，并證明你的猜想．

（3）如圖3，EG1和EG2為∠BEF內滿足∠1＝∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點G1和G2，求證：∠FG1E+∠G2＝180°．

Answer 1

【答案】（2）∠EGF＝90°；（3）詳見解析.

【解析】

（2）如圖2所示，猜想：∠EGF=90°；由結論（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根據EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到結論；
（3）如圖3，過點G1作G1H∥AB由結論（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根據平行線的性質即可得到結論．

證明：（2）如圖2所示，猜想：∠EGF＝90°；

由結論（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∵EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，

∵BE∥CF，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，

∴∠BEG+∠GFD＝90°，

∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF＝90°；

（3）證明：如圖3，過點G1作G1H∥AB，

∵AB∥CD，∴G1H∥CD，

由結論（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠3＝∠G2FD，

∵FG2平分∠EFD，

∴∠4＝∠G2FD，

∵∠1＝∠2，

∴∠G2＝∠2+∠4，

∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，

∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°，

∴∠EG1F+∠G2＝180°．