Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，﹣5），C（6，0）

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試指出使△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)？并請(qǐng)你求出其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），

把B（5，﹣5）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣5，

a= ，

∴y= （x+1）（x﹣6）= x2﹣ x﹣5

（2）解：存在，

如圖1

分別過(guò)P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，

設(shè)P（m， m2﹣ m﹣5），四邊形PACB的面積為S，

則PM=﹣ m2+ m+5，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC，

= （﹣ m2+ m+5）（m+1）+ （5﹣ m2+ m+5）（5﹣m）+ ×1×6，

=﹣ （m2﹣4m+4）+

=﹣ （m﹣2）2+ ，

當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值為 ，這時(shí) m2﹣ m﹣5= ×22﹣ ×2﹣5=﹣10，

∴P（2，﹣10）

（3）解：這樣的Q點(diǎn)一共有5個(gè)，

①以A為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對(duì)稱軸于Q1、Q4，則AQ1=AQ4=AB，

設(shè)對(duì)稱軸交x軸于E，

y= x2﹣ x﹣5= （x﹣ ）2﹣ ；

∴拋物線的對(duì)稱軸是：x= ，

∵A（﹣1，0），B（5，﹣5），

∴AB= = ，

∴AE= +1= ，

由勾股定理得：Q1E=Q4E= = ，

∴Q1（ ， ），Q4（ ，﹣ ）

②

以B為圓心，以AB為半徑畫弧，交拋物線的對(duì)稱軸于Q2、Q5，

∴Q2F=Q5F=AB= ，

過(guò)B作BF⊥Q1Q5于F，則Q2F=Q5F，

∵B（5，﹣5），

∴BF= ，

由勾股定理得：Q2F= = ，

∴Q5E= +5= ，

∴Q5（ ，﹣ ），

∵Q2E= ﹣5= ，

∴Q2（ ， ），

③連接Q3A、Q3B，

因?yàn)镼3在對(duì)稱軸上，所以設(shè)Q3（ ，y），

∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，

由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+5）2，

y=﹣ ，

∴Q3（ ，﹣ ）．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（ ， ），Q2（ ， ），Q3（ ，﹣ ）．Q4（ ，﹣ ）Q5（ ，﹣ ）

【解析】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，﹣5），C（6，0），可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣5）即可求得函數(shù)的解析式；（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個(gè)圖形，兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形，設(shè)P（m， m2﹣ m﹣5），四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)二次函數(shù)，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求極值，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）分三種情況畫圖：①以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對(duì)稱軸于Q1和Q4，有兩個(gè)符合條件的Q1和Q4；②以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個(gè)符合條件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分線交對(duì)稱軸于一點(diǎn)Q3，有一個(gè)符合條件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．