Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，連接EP并延長，交AB的延長線于點F，AP、BE相交于點O．下列結論：①EP平分∠CEB；②＝PBEF；③PFEF＝2；④EFEP＝4AOPO．其中正確的是（　　）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

由條件設AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函數值可以求出∠EBC的度數和∠CEP的度數，則∠CEP=∠BEP，運用勾股定理及三角函數值就可以求出就可以求出BF、EF的值，從而可以求出結論．

解：設AD=x，AB=2x

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB

∴BC=x，CD=2x

∵CP：BP=1：2

∴CP=x，BP=x

∵E為DC的中點，

∴CE=CD=x，

∴tan∠CEP==，tan∠EBC==

∴∠CEP=30°，∠EBC=30°

∴∠CEB=60°

∴∠PEB=30°

∴∠CEP=∠PEB

∴EP平分∠CEB，故①正確；

∵DC∥AB，

∴∠CEP=∠F=30°，

∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，

∴△EBP∽△EFB，

∴

∴BE·BF=EF·BP

∵∠F=∠BEF，

∴BE=BF

∴＝PB·EF，故②正確

∵∠F=30°，

∴PF=2PB=x，

過點E作EG⊥AF于G，

∴∠EGF=90°，

∴EF=2EG=2x

∴PF·EF=x·2x=8x2

2AD2=2×（x）2=6x2，

∴PF·EF≠2AD2，故③錯誤.

在Rt△ECP中，

∵∠CEP=30°，

∴EP=2PC=x

∵tan∠PAB==

∴∠PAB=30°

∴∠APB=60°

∴∠AOB=90°

在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，

AO=x，PO=x

∴4AO·PO=4×x·x=4x2

又EF·EP=2x·x=4x2

∴EF·EP=4AO·PO．故④正確．

故選，B