Question

【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間．則下列結論：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數根．其中正確結論的是______________（只填序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點（-2，0）和（-1，0）之間，則當x=-1時，y＞0，于是可對①進行判斷；利用拋物線的對稱軸為直線x=- =1，即b=-2a，則可對②進行判斷；利用拋物線的頂點的縱坐標為n得到=n，則可對③進行判斷；由于拋物線與直線y=n有一個公共點，則拋物線與直線y=n-1有2個公共點，于是可對④進行判斷．

解：∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（-2，0）和（-1，0）之間．
∴當x=-1時，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，所以②錯誤；
∵拋物線的頂點坐標為（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正確；
∵拋物線與直線y=n有一個公共點，
∴拋物線與直線y=n-1有2個公共點，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根，所以④正確．

故答案為：①③④.