Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，點D在半徑OB的延長線上，∠BCD=∠A=30°．

（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑長為1，求由弧BC、線段CD和BD所圍成的陰影部分面積．（結果保留π和根號）

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CD與⊙O相切，

∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，

又∵OB=OC，

∴△OBC是正三角形，

∴∠OCB=60°，

又∵∠BCD=30°，

∴∠OCD=60°+30°=90°，

∴OC⊥CD，

又∵OC是半徑，

∴直線CD與⊙O相切．

（2）解：由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，

∵OC=1，

∴CD= ，

∴S△COD= OCCD= ，

又∵S扇形OCB= ，

∴S陰影=S△COD﹣S扇形OCB= ．

【解析】（1）由已知可證得OC⊥CD，OC為圓的半徑所以直線CD與⊙O相切；（2）根據已知可求得OC，CD的長，則利用S陰影=S△COD﹣S扇形OCB求得陰影部分的面積．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．