Question

如圖①，矩形紙片ABCD中，AD=14cm，AB=10cm．
（1）將矩形紙片ABCD沿折線AE對折，使AB邊與AD邊重合，B點落在F點處，如圖②所示，再剪去四邊形CEFD，余下部分如圖③所示，若將余下的紙片展開，則所得的四邊形ABEF的形狀是______，它的面積為______cm²；
（2）將圖③中的紙片沿折線AG對折，使AF與AE邊重合，F點落在H點處．如圖④所示，再沿HG將△HGE剪下，余下的部分如圖⑤所示，把圖⑤的紙片完全展開，請你在圖⑥的矩形ABCD中畫出展開后圖形的示意圖，剪去的部分用陰影表示，折痕用虛線表示；
（3）求圖④中剪去的△HGE的展開圖的面積（結果用含有根式的式子表示）．

Answer 1

解：（1）正方形，100；
（2）如右圖．
（3）正方形的對角線AE=10，
∵AH=AF=10，AH=AF=10-HE，
∴HE=10-10，
∴展開圖的面積=GH×HE÷2×2=100（3-2）cm²．
分析：（1）∵∠A=∠B=∠AFE=90°，∴四邊形ABEF是矩形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是正方形，面積等于AB²=100；
（2）動手操作后可很快得到答案；
（3）易得AE=10，那么AH=AF=10，AH=AF=10-HE，那么HE=10-10；∴展開圖的面積=GH×HE÷2×2=100（3-2）cm²．
點評：本題是一道精彩的綜合題型，它主要考查學生的動手操作、空間想象和幾何計算能力，其題材來源于日常生活生活，設計由簡到繁，不同層次的學生都能在本題上有所收獲．折紙操作題目是近年出現的考查動手操作和展示數學活動過程的題型，本題在繼承的基礎上又有所創新，強調讓學生將每一次折、剪后的結果用不同的形式表現出來，考查了學生的空間想象能力．第2小題的解法有多種，不同思維習慣，不同程度的學生的解法有難易之分，但都考查了學生的數學活動過程，對于空間觀念較強的學生，他可以借助“頭腦操作”，將圖形逐步還原，再畫出展開后的圖形；而對于習慣動手實踐的學生，他也可以在考場中親手經歷折疊、剪切、展開的過程，直接將操作結果畫出．這樣的設計尊重了學生的認知差異，讓不同層次學生在數學上都能得到適當的發展．第3小題的計算同樣也有多種思路，分別考查了學生利用勾股定理，三角函數、三角形全等、軸對稱等多方面知識，還考查了整體與部分關系的數學思想．