Question

【題目】如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點C落在∠MON的內部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B．

（1）填空：∠OBC+∠ODC=　　 　　；

（2）如圖，若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求證：DE⊥BF.

Answer 1

【答案】（1）180°；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先利用垂直定義得到∠MON=90°，然后利用四邊形內角和求解；
（2）延長DE交BF于H，如圖，由于∠OBC+∠ODC=180°，∠OBC+∠CBM=180°，根據等角的補角相等得到∠ODC=∠CBM，由于DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，則∠CDE=∠FBE，然后根據三角形內角和可得∠BHE=∠C=90°，于是DE⊥BF；

（1）∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四邊形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°-90°-90°=180°；
故答案為180°；

（2） 證明：延長DE交BF于H，如圖，

∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF.