Question

【題目】如圖，在ABCD中，BE交對角線AC于點E，DF∥BE交AC于點F．
（1）寫出圖中所有的全等三角形（不得添加輔助線）；
（2）求證：BE=DF．

Answer 1

【答案】
（1）解：全等三角形有：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA，

理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，

∵AC=AC，

∴△ABC≌△CDA（SSS）；

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠BCE，

∵DF∥BE，

∴∠AFD=∠CEB，

即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，

∴△AFD≌△CEB（AAS）；

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCF，

∵DF∥BE，

∴∠AFD=∠CEB，

∴∠AEB=∠DFC（等角的補角相等），

即∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AB=CD，

∴△ABE≌△CDF；

（2）證明：∵由（1）知：△AFD≌△CEB，

∴BE=DF．

【解析】（1）根據平行四邊形性質推出AD=BC，AB=CD，根據SSS證出△ABC≌△CDA即可；根據平行線性質推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根據AAS證出△AFD≌△CEB即可；求出∠AEB=∠DFC，∠BAE=∠DCF，根據AAS證出△ABE≌△CDF即可；（2）由△AFD≌△CEB推出即可．
【考點精析】關于本題考查的平行線的性質和平行四邊形的性質，需要了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．