Question

【題目】已知直線y=2x-2與拋物線交于點A（1，0）和點B，且m＜n．

（1）當m=時，直接寫出該拋物線頂點的坐標.

（2）求點B的坐標（用含m的代數式表示）.

（3）設拋物線頂點為C，記△ABC的面積為S.

①，求線段AB長度的取值范圍；

②當時，求對應的拋物線的函數表達式

Answer 1

【答案】（1）（﹣，）；（2）B點坐標為（﹣2，﹣6）；（3）①5≤AB≤9；②或

【解析】試題分析：

（1）把點A（1，0）代入中可得n=-2m，結合m=-2可得二次函數的解析式，再配方即可求得其圖象的頂點坐標了；

（2）聯立一次函數和二次函數的解析式組成方程組，解方程組即可求得點B的坐標；

（3）①由（2）中所得點B的坐標結合點A的坐標可用含m的代數式表達出AB2=，由可得，這樣即可得到AB2在的范圍內隨著m的增大而減小，將m=-3和m=-1分別代入AB2的表達式即可求得AB2的最大值和最小值，由此即可求得對應的AB的最大值和最小值了，從而可得AB的取值范圍；

②設拋物線的對稱軸與直線AB交于點E，由已知條件易得點E的坐標為，用含m的代數式表達出拋物線的頂點的坐標，這樣即可由S=S△CEB+S△ACD=，結合已知條件用列出關于m的方程，解方程即可求得對應的m的值，將所得m的值代入拋物線的解析式中即可求得對應的解析式.

試題解析：

（1）∵拋物線y=mx2+mx+n過點A（1，0），得n=﹣2m，

∴拋物線的解析式為：，

又∵m==-2，

∴拋物線的解析式為，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣，）；

（2）由 消去y可得：mx2+（m﹣2）x﹣2m+2=0，

即x2+（1﹣）x﹣2+=0， 解得x=1或x=﹣2，

∴B點坐標為（﹣2，﹣6），

（3）①由勾股定理可得AB2=，

∵，

∴ ，

∴AB2隨的增大而減小，

∴當=-3時，AB2有最大值405，則AB有最大值，

當=-1時，AB2有最小值125，則AB有最小值，

∴線段AB長度的取值范圍為≤AB≤；

②如下圖，設拋物線對稱軸交直線AB于點E，

∵拋物線對稱軸為x=﹣，點E在直線AB：y=2x﹣2上，

∴E（﹣，﹣3），

∵A（1，0），B，且m＜0，設△ABC的面積為S，

∴S=S△CEB+S△ACD=(+3）（3-）=，解得m=-1或m=，

對應的拋物線的函數表達式為或.