Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切．
（1）求證：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O1的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD為直徑的半圓O與BC相切，

∴AB，BC，CD均與半圓O相切，

∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．

又∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．

∴2∠CBO+2∠BCO=180°，

于是∠CBO+∠BCO=90°，

∴∠BOC=180°﹣（∠CBO+∠BCO）=180°﹣90°=90°，

即OB⊥OC

（2）解：設CD切⊙O1于點M，連接O1M，則O1M⊥CD．

設⊙O1的半徑為r．

∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O1CM，

∴∠O1CM=30°．

在Rt△O1CM中，CO1=2r，O1M=r．

在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．

∵⊙O1與半圓O外切，

∴OO1=6+r，于是，

由OO1+O1C=OC，即6+r+2r=12，

解得r=2，

因此⊙O1的面積為4π．

【解析】（1）證明兩個銳角的和等于90°即可；（2）求得⊙O1的半徑后代入圓的面積公式求得其面積即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直角梯形和相切兩圓的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一腰垂直于底的梯形是直角梯形；如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線．