Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，點G是BC延長線上一點，連接AG，分別交BD、CD于點E、F，連接CE．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）當AE=2EF時，判斷FG與EF有何等量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；

在△ADE和△CDE中，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE=∠DCE

（2）解：判斷FG=3EF．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

由題意知：△ADE≌△CDE

∴∠DAE=∠DCE，

則∠DCE=∠G，

∵∠CEF=∠GEC，

∴△ECF∽△EGC，

∴ ，

∵△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，

∵AE=2EF，

∴ = ，

∴EG=2AE=4EF，

∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．

【解析】（1）根據四邊形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可證明；（2）根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因為△ABE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．