Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數y=-x的圖象l是第二、四象限的角平分線．

（1）實驗與探究：由圖觀察易知A（-1，3）關于直線l的對稱點A′的坐標為（-3，1），請你寫出點B（5，3）關于直線l的對稱點B′的坐標為 ；

（2）歸納與發現：結合圖形，自己選點再試一試，通過觀察點的坐標，你會發現：坐標平面內任一點P（m，n）關于第二、四象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為 ；

（3）運用與拓廣：

①已知兩點C（6，0），D（2，4），試在直線l上確定一點P，使點P到C，D兩點的距離之和最小，在圖中畫出點P的位置，保留作圖痕跡，并求出點P的坐標．

②在①的條件下，試求出PC+PD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（-3，-5）；（2）（-n，-m）；（3）①作圖見解析；P（1，-1）；②.

【解析】

試題分析：（1）觀察圖形得出點B（5，3）關于直線l的對稱點B′的坐標即可；

（2）歸納總結得到一般性規律，寫出P（m，n）關于第二、四象限的角平分線l的對稱點P′的坐標即可；

（3）①如圖，作點C關于直線 l 的對稱點C′，連接C′D，交l于點P，連接CP，由作圖可知，PC=PC′，進而得到PC+PD=C′D，求出此時P坐標即可；②利用勾股定理求出PC+PD的最小值即可．

試題解析：（1）根據題意得：B′（-3，-5）；

（2）根據題意得：P′（-n，-m）；

（3）①如圖，作點C關于直線 l 的對稱點C′，連接C′D，交l于點P，連接CP，

由作圖可知，PC=PC′，

∴PC+PD=PC′+PD=C′D，

∴點P為所求，

∵C（6，0），

∴C′（0，-6）．

設直線C′D的解析式為y=kx-6，

∵D（2，4），

∴k=5，

∴直線C′D的解析式為y=5x-6，

由 得，

∴P（1，-1）；

②PC+PD=．