Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3與x軸有兩個交點．

（Ⅰ）求k取值范圍；

（Ⅱ）當k取最小整數時，此二次函數的對稱軸和頂點坐標；

（Ⅲ）將（Ⅱ）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象．請你求出新圖象與直線y=x+m有三個不同公共點時m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）k＞﹣1（Ⅱ）對稱軸為：x=1．頂點坐標為（1，﹣4）；（Ⅲ）m的值為1或

【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線與x軸有兩個交點可知△＞0，從而可求得k的取值范圍；

（Ⅱ）先求得k的最小整數值，從而可求得二次函數的解析式，結合函數解析式求此二次函數的對稱軸和頂點坐標；

（Ⅲ）先根據函數解析式畫出圖形，然后結合圖形找出拋物線與x軸有三個交點的情形，最后求得直線的解析式，從而可求得m的值．

試題解析：（Ⅰ）∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴△=4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）=16k+16＞0，

∴k＞﹣1，

∴k的取值范圍為k＞﹣1；

（Ⅱ）∵k＞﹣1，且k取最小的整數，

∴k=0，

∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴對稱軸為：x=1．頂點坐標為（1，﹣4）；

（Ⅲ）翻折后所得新圖象如圖所示，

平移直線y=x+m知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點，

①當直線位于l1時，此時l1過點A（﹣1，0），

∴0=﹣1+m，即m=1；

②∵當直線位于l2時，此時l2與函數y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的圖象有一個公共點，

∴方程x+m=﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m=0有兩個相等實根，

∴△=1﹣4（m﹣3）=0，即m=，