Question

【題目】如圖，已知線段與點，若在線段上存在點，滿足，則稱點為線段的“限距點”.

（1）如圖，在平面直角坐標系中，若點.

①在中，是線段的“限距點”的是 ；

②點是直線上一點，若點是線段的“限距點”，請求出點橫坐標的取值范圍.

（2）在平面直角坐標系中，點，直線與軸交于點，與軸交于點. 上存在線段的“限距點”，請求出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）.

【解析】

（1）①已知AB=2，根據勾股定理，結合兩點之間的距離公式，即可得到答案；

②根據題意，作出“限距點”的軌跡，結合圖形，即可得到答案；

（2）結合（1）的軌跡，作出圖像，可分為兩種情況進行分析，分別求出兩個臨界點，即可求出t的取值范圍.

（1）①根據題意，如圖：

∵點，

∴AB=2，

∵點C為（0，2），點O（0，0）在AB上，

∴OC=AB=2；

∵E為，點O（0，0）在AB上，

∴OE=；

∵點D（）到點A的距離最短，為；

∴線段的“限距點”的是點C、E；

故答案為：C、E.

②由題意直線上滿足線段的“限距點”的范圍，如圖所示.

∴點在線段上（包括端點），

∵AM=AB=2，

設點M的坐標為：（n，n）（n<0），

∵，

∴，

∴，

易知，

點橫坐標的取值范圍為：.

（2）∵與x軸交于點M，與y軸交于點N，

∴令y=0，得；令x=0，得，

∴點M為：（），點N為：（0，）；

如圖所示，

此時點M到線段AB的距離為2，

∴，

∴；

如圖所示，AE=AB=2，

∵∠EMG=∠EAF=30°，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵，AG=1，

∴

解得：；

綜上所述：的取值范圍為：.