Question

【題目】如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB=30度．

（1）求∠APB的度數；

（2）當OA=3時，求AP的長．

Answer 1

【答案】(1)、∠APB=60°；(2)、AP=

【解析】試題分析：(1)、方法1，根據四邊形的內角和為360°，根據切線的性質可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度數，可將∠APB的度數求出；方法2，證明△ABP為等邊三角形，從而可將∠APB的度數求出；

(2)、方法1，作輔助線，連接OP，在Rt△OAP中，利用三角函數，可將AP的長求出；方法2，作輔助線，過點O作OD⊥AB于點D，在Rt△OAD中，將AD的長求出，從而將AB的長求出，也即AP的長．

試題解析：(1)、方法一： ∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°， ∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，

∵PA、PB是⊙O的切線， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°， ∴在四邊形OAPB中，

∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．

方法二： ∵PA、PB是⊙O的切線∴PA=PB，OA⊥PA；

∵∠OAB=30°，OA⊥PA， ∴∠BAP=90°﹣30°=60°， ∴△ABP是等邊三角形， ∴∠APB=60°．

(2)、方法一：如圖①，連接OP； ∵PA、PB是⊙O的切線，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，

又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°， ∴AP==3．

方法二：如圖②，作OD⊥AB交AB于點D； ∵在△OAB中，OA=OB， ∴AD=AB；

∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30° ∴AD=OAcos30°=， ∴AP=AB=3．